味”捣酥斗膨8BuIA叫IO早晋牌某塑‘群世。puy卦·璐揭垂头盛司专里0忆子m2x计子.…3分、人-+00，中30△阴食面的1,由弦河结合正弦函敌的图象与性质，=哥盖0a0帽奇。可得当-号+2x≤2x+景≤受+2kx∈D,A◇1长筒歌最合常，点辽做时民省A玉品及货会司$菌做四采即一否+x≤≤骨十kx(k∈Z)时，函数单调递始，QD放所以函数)=f(x)的单调递增区间为[一否+k,誓十c2)…6分3有为A,B0可国2D令=2z+至，当x[-答]时e[吾1，分m[-]名霸42y=合sn小∈[0,2]（如图）.。比国本日-位自图泡或o成年1。大和0=千。及，兰内购限切船火，达尽面馆通8△试因，成>四aA+tan B游如国公思施策三东武0△好商为=Q14明OA△R票0em地TO小得丽默职点余最是OA刻卖是362“要使y=f(x)一m在区间[-2不，8]上恰有两个零点，m的取值范围为子0,由余弦定理可得cB=AB8CAC8音十二2√骨·-号，兰2AB·BC8x1.A用为0一B<元，则0

(道8道9熊X-/1对-Y)k二yH(2-M(本小题满分12分)￥22.(本小题满分12分应症患者的治疗作用和y已知椭圆C:+灵0的心4已知函数f(x)疗效评价指标A的数(1)求实数a的取集了一部分志愿者作为且经过点(1，之，点F,F为椭圆C的(2)若方程f(x)y),1=1,2,3,…,20,左、右焦点。鑫羽气必f(x)十f(疗效评价指标A的数(1)求椭圆C的方程；量y变化明显，随着天(2)过点F分别作两条互相垂直的直线1,2，且11与椭圆交于不同两的出学思会计量的值.3x,=60,=1点A,B,2与直线x=1交于点P.若AF=入F1B,且点Q满足,3,-Dg,-QA=λQB,求△PQF1面积的最小值.长自大是:形确到0.01)的姓产线海矢8小时Q万-人02是第2条生产线的另0.009第2条生线是否出现不合格C○A1QuA>CAMERA3a02d/11/2d1:3）

图为x引1=s公…2分西8m=2r-2H--2B别上单调递增…3分所f兮空f刊≤f0.即≤f1…4分所以f)在x∈[0，的值域为(2)二次函数g(x)=-x2+x+a的对称轴为x=,开四响下…n6分1所以在x∈(0,1)时，g(x)ax=g()=a+w……7分f(x)=2+cos2x-2acosx=2cos2x-2acosx+1,在60时令w=0se6,则o)=2-2-1=2u+12当≥即a≥时，242距对称轴号边，所以f)=f=氵a，2号<主期a<子时T距对称轴冬远；所以j仙m=0=3-2a8分242所以f(x,)mx=f(u)nax=3-2a,a3-2对任意的x∈(0,1)，都存在x2∈0，使得不等式g:)×f代)成立3即为g(c)nx

所以Sn=2(Sn-an十1)，即Sn=2an-2.当n≥2时，Sm-1=2am1-2,两式相减得a,=2an-2a1,所以a,=2a,1,所以a红=2(n≥2)，…3分n-1所以{an}是等比数列，且公比是2，又a1=2,所以an=2m.…5分(2)当n=1时，T1=b1=1,…6分当n≥2时，6=(2+1-D(2-D2121'…8分所以1=1-()+-(12）-1H(号1-)专21,9分当a=1时也满起，所以工=专2}m∈N).…10分18.解：(1)由图知A=3,…。…1分哥=受-(-晋)=受T=x,由T-8=π得=2…2分'.f(x)=3sin(2x十p),(牙，3）在函数图象上，3sim(2×号十p)=3,……3分+g=受+2ke0,lg<受g=6.…5分函数的解析式f(x)=3sin(2z-否）.……6分2)fa)=3sin(2&看）-5，sm(2a君）-3…7分ae(-否，)…2a-晋∈(-受，受），…8分as(2a-晋）-V1-{-5,……9分as2acs(2a晋+晋）-ca(2a晋)as晋-n(2。-吾)m吾-3vE。6,…12分19.解：选①因为2 acos C=ab-2 ccos A.又前B茹元及=，所以2 sin Ccos A+2 cos Csin A=√3sinA,……2分即2sin(A+C)=√3sinA.……4分因为△ABC中A+B十C=π，所以sin(A十C)=sin(x-B)=sinB.所以2sinB=√3sinA.……6分由正弦定理得2b=√3a,又b=√3，所以a=2.…8分由BA得mA-B-后×号-停b510分由a>b,得A>B,所以A为锐角或钝角，故有两解.即△ABC不唯一.…12分【高三第二次联合考试·数学试题参考答案第3页（共6页）】223069Z

6不是增函数.-解折：因为S=品3mn+2所以+46-12=0，解得6=2或b=-6(金去)所以问题中的三角形存在奇2三πR(11-23,所以5=1--R2=0-与号b×5-35,放6=9.由余弦定理可得e+a+-2hm(一21=d2++山，象可又a2+6≥2ah,2所以21=d+8+号b≥b=a的≤6.3，与b=9牙所。所以问题中的三角形不存在。…12分0)16.3(解析：设抛物线x2=4y的准线方程为：y=-1,C为圆选33imB=2sin4.由正弦定理得，3inB=2an1→3b=2a,20=(x+1)2+(y-2)2=1的圆心，所以C的坐标为(-1,2)，过M直余弦定理到得2=2+心-2ab加sC=21-,作1的垂线，垂足为E,根据抛物线的定义可知1MFI=1ME1,所以间膳求MF们+1MG的最小值，就转化为求1ME+MC1的最所以b=2或b=-2(舍去)，所以问题中的三角形存在，12分设小值.由面儿何的知识可细.当C,M.E在一条直线上时，此时9解：(1)X的所有可能取值有6,2，上，-2.CE1L,1ME+1MC1有最小值，最小值为GE=2-(-1)=3.)17(1)解：48.=a,·01+1,a1=1,则X=6-器-08，PX=2-器-025，,小45=01西+1，=3…1分40当1≥2时，有4S。-1=aa.1+1,P(K=)=40=01,P(X=-2）=40=0.02,8…4分45。-454=a.0.1-a.1tw4a,=a.（a.1=a.-1）,放X的分布列为室0w0,1-01=4.…3分的圆X62的交数列4，的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，4。--2=1+4(n-1)=2(2n-1)-1,P0.630.250.10.02P偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列，Em=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34.0=3+4(n-1）=22n-1,…7分4.=2n-1,neN'.…6分(2)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的均利润为(2)证明：由61·6=2n-1,所以方.·b。,=2n-3,得b,(bEx=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x)+x+(-2)×0.01=4.7633=）=2…407分-x(0≤x≤0.29)：…410分依题意，6x≥4.75，即4.76-x≥4.5，解得x≤0.01，三等品率最多为1%。……，12分20.(1)证明：因为AB=AD=22,AB1AD,0为BD的中点，所以A0LBD,BD=4,A0=2.…1分=b1+b.--因为△BCD是等边三角形，E为BC的中点，2(++1)=+=+2所以0E=2CD=22n-1.在△40E中，A0=2,0E=2,AE=22,从而可得+++可…12分所以AO+OE=AE2,所以A010E.…3分因为BDOOE=O,BDC面BCD.OEC面BCD,18解：解法1：由正弦定理，得所以AO⊥面BCD.3sinCeosB =3sin[-(B+C)]+2sinB.因为BCC面BCD,所以A0⊥BC.……4分修理得3 sinBcosC+2inB=0.因为sinB≠0，(2)解：由(1)知A0⊥面BCD,连接OC,可得A0L0C.所以mc=一号6分因为△BCD是等边三角形，所以0C1BD,所以0A,0B,0C两两垂直，分别以O成，O元，0的解法2：由3 ccusB=3a+2b,得3 accosB=3a+2ab,方向为x,y,:轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系0由余弦定理，得3(a千2-)=6a+4ab,yz,整理得3(-a2+c2-2)=4ab,则0(0,0,0)，D(-2,0,0).C(0,23,0),A(0,0,2),B(2,0、成2即3abnC+2ab=0.所以cosC=-3…6分0)，E(.,0),上选①4=3由余弦定理可得d2=0+-2bs6=21=9+6-D元=(2,23.0)，花=(0,26，-2)，0=(0：0,2).0亦=0答案第4真·共6页新高考

18.(本题满分12分)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=1,C2:(x-3)2+(y-4)2=3,点P,A,B分别在x轴和圆C1,C2上.(I)判断两圆的位置关系；(II)求PA+PB的最小值.19.(本题满分12分)已知三棱锥D-ABC中，面ACD⊥面ABC,∠ACB=∠ACD=45°，DA=DC=2BC=2.(I)证明：CB⊥DB;(IⅡ)求CB与面DAB所成角的正弦值.B第19题图20.（本题满分12分)己知数列{an}中，a1=3,点(an,an+1)在直线y=3x上.(I)求数列{an}的通项公式及其前n项的和Sn;(Ⅱ)设bn=”，n∈N*，证明：b+b,++b,<43an21.(本趣满分12分)已知椭图手+片=1(a>b>0)的左右焦点为万，5，且50,0为长轴的一个四等分点.(I)求椭圆的标准方程：(IⅡ)分别过F,F作斜率为k,k2的两条直线l和12，I与椭圆交于A,B两点，I2与椭圆交于C,D两1点，且k1·k2=1.求证：A8CD为定值，并求出该定值.22.(本题满分12分)已知函数f)=1-x+alnx,a∈R.B(I)当a=时，求函数)的单调区间：第21题图(1)若32a≤；，记f)的两个极值点分别为x,,)-f)的最大值与最小值分别为2x1-X2M,m,求M-m的值，高二数学学科试题第4页（共4页）

4d=1-1十2n-2m+可4n2-14n2-1-1+2(20与2n市116+6+…+6=a+(-号+-+日1十…+22x)=a+号-n十211n∈N",111.b十b2+…+bm>n-2若选②：6,=9m+12m+1=9m+12m+1=9m+12m+1a+1(3n+2)29n2+12n+49n+12m+43-1-3m千239n2+12n+431>13m+23m-d=1-（3m3m+226+6+…+6>a-(-吉+号-言+-品11111+3m白13m+2)=1-立+3m+2>n-24.(1)数列{an}是递减等比数列，.数列{an}的公比q>0,又{a1,a2,a3}三{-4，-3，-2,1,2,3,4}，.a1=4,a2=2,a3=1.41-S,=1-=81-),:3+=41-)+41-高)=85281-2)=S+1,∴数列{S.}是“有序减差数列”(2)6=logzan=3-n,则C1十c2+…十cg=(c1十c3十c5十c十cg)十(c2十c4十c6十c8)=(22+2°+2-2+24+2-6)+(1-1-3-5)-g川-8=器-8=册1-2-25.(1)设{an}的公差为d,{b.}的公比为q,b2+Sg=2a5且b2S3=24,/2g+3+3d=2(1+4(d>0),2g(3+3d)=242./d=1q=21.am=1+(n-1)=n,bn=2·2m-1=2".(2:c.=nb.sin282=n2"sin2罗，2a=2nb.sim20g=2nX2asin22g=2m×2sim(m）=0-1=(2n-1)ba-1sin2a2m,r-(2n-1）2-1sin22n1Dx22=(2n-1)22m-1=2(2n-1)×4m-1=nX4"-2×4m-1;=2c=2k4-221=2…4-2941-431

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③高空甲一气流运动方向近地面气压带083060°90"11.与欧洲西部气候形成原因相关联的气压带或风带是()A.甲—东北信风带B.①—赤道低压带C.②—副极地低压带D.乙—西风带12.此图对应的季节以

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即bey-（25)c=4.放c=52263,5ag=号esinA=18-182……10分18.解：本题考查等差数列计算及裂项相消求和.(1)设等差数列{an}的公差为d(d>0),因为a1=1,a2是

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2023-12-20 09:12:13

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a+hta=2,当x=cea时.hrta=2=0,aEeP0∴.问题转化为Fx)的最小值小于或等于0，F')=-1&+122-ax-1-8分2x32x2x2x3设2x7-axo一1=0(x0>0),则当0xo时，F'(x)>0,∴.Fx)在(0，xo)上单调递减，在(xo,十∞)上单调递增，∴F)的最小值为0=ta+n0+4+a-2:-10分4x02'2x04由2x6-a0-1=0,知a=20-1,故Fo)=6+20-1+n0-2,Xo设p)=2+2x-1+1nx-2>0),则o'()=2x+2++0恒成立，x2 x故(x)在(0，+∞)上单调递增.,p(1)=0,.当x∈(0,1]时，px)≤0，∴.Fx)的最小值Fo)≤0等价于0≤xo≤1.又：函数y=2x-在(0,1]上单调递增，a=20-1e(-0,1]--12分x=bcos t,22.解：(1)由{(t为参数，b>0)消去参数t,得到C的普通方程为x2+yy=2+bsin t-2)2=b2--2分将=pcos 0,代入C的普通方程中，得C的极坐标方程为p2-4psin0+4-b2=0,l=psin 0所以曲线C是以(0,2)为圆心，b为半径的圆，其极坐标方程为p2一4psin0+4一b2=0--5分p2-4psin0+4-b2=0,(2)曲线C,C2的公共点的极坐标满足方程组o=-4cos 0,消去p整理得16cos20+16sin0cos0+4-b2=0,把p=-4cos0代入C3的方程psin0+pcos0+1=0中，得4cos0sin0+4cos20=1,把4 cos 0sin0+4cos20=1,代入16cos20+16 sin Ocos0+4-b2=0,得b2=8,而b>0,解得b=2V2,所以存在实数b=2V2,使C1与C2的公共点都在C3上-10分23.解：(1)因为fx)=2cosx+2a+4+a-1,则31+2a+4+a-1:由周5.得a+4+a-p4①当a≤-2时，则有-20-4+1-a=-30-34,解得a子此时a子②当-24，解得a>-1,此时-14，解得a>2,此时a≥1综上所述，当月5时，实数的取值范是【，U(-1,十一5分(2)证明：要证fx)≥V5sinx,即证2a+4+a-1川≥V5sinx-2cosx当a≤-2时，2a+4|+la-1川=-2a-4+1-a=-3a-3≥3：当-2

湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.【答案】C【解析】【分析】确定A={x0≤x<1,再计算补集得到答案。【详】4=0=s<明.成44=(moul)故选：C3.【答案】B【解析】【分析】解不等式，根据解的范围大小得到答案。【详解】√x+1≤2，则-1≤x≤3；x-1<2,则-1C可知c2>0,然后两边同乘以c2,可判断C.【详解】A选项：若a>b,c=0,则ac=bc,A错误；B选项：取a=1,b=-2,则=1624,B错误22=1110这碳：若是>名，月e20,所以吕小>ec,g6,cT:第1页，共14页

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20.解：(1)设事件A为“抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一”，则P(A)=CC型-28C3951…3分(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,5,6，P(X=0)=13X12r=6。。。。。。。。4分PX=ID=G×号×1-号)X1-3)-日…5分P(X=2)=(号)2x1-2)+1-号)2×C×2×(1-2)=3…6分p(X=3)=C×号×1-)×Cx×1-2)=号2…7分X=4)=(号)2×C×7×1-7)+(1-号)P×(3=日，8分P(X-5)-C×号×1)()2-日9分P(X=6)=(号)X()P=司10分所以X的分布列为X0123456P112113669o所以X的数学期望E(X)=0×6+1×日+2×日-3×号+1×+5×号+6×号-9，3…11分张同学在本次号核中获得优秀学员称号的概率为子。…12分21.1)解：f(x)=c0sx+2x,(受)=元，J受)4+1.…2分故曲线y=f)在点（受，f(受）)处的切线方程为y=0一军+1，即4x一4y一元+4=0，…4分(2)证明：由(1)得f(x)=cosx十2x.令函数u(x)=f'(x),则u'(x)=一sinx十2>0，所以u(x)=f(x)是增函数.…5分因为f(0)=1,f())=c0s)1<0,…6分所以存在x∈（一0，使得f(x)=0s十2a=0,即号=子co21.…7分所以当x∈(-∞，x0)时，f(x)<0,当x∈(x0,十∞)时，'(x)>0,所以f(x)在（一∞，xo)上单调递减，在(xo,十∞）上单调递增.……8分【高三数学·参考答案第5页（共6页）】·24-223C·

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n2+cn十c,c∈R(I)求数列{an}的通项公式：(2)记bm为{an}在区间(0,2m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bn}的通项公式【解析】（1)Sn=n+Cn+c,.n≥2时，a,=S,-S,=n2+cn+c-(n-1)2-c(n-1)-c=2n-1+c且a1=S,=1+2c也符合上式，.1+c=1+2c,c=0,∴.an=21-1.(2)bn为{an}在区间(2,22m-]中项的个数，令0<2n-1≤22m-,1≤n2m+1=222+21≤n≤22m-2,.bn=22m-2,bn=22m-2=4-118.(12分)某制造商生产的5000根金属棒的长度近似服从正态分布N(6,σ2)，其中恰有114根金属棒长度不小于6.04.(1)求o:(2)如果允许制造商生产这种金属棒的长度范围是(5.95,6.05)，那么这批金属棒中不合格的金属棒约有多少根？说明：对任何一个正态分布XN,来说，通过Z=X一少转化为标准正态分布ZN0,1),从而查标准正态分布表得到P(X

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22+30x-3y2-15令y=0,则5+y%,2-3y,4+6755+yMX=y4+60y2+2253整理得y4+40yM2+1502o此时直线CD经过定点2.14分综上，直线CD羟过定有0..15

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()根据B=一:可得sinC=15n 3sinr可得simr2,=30(1分)由数学知识可得sin30°

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本有着珍禽异兽出没的原始次生林，有着可与非洲白蚁媲美的成堆的红蚁，有着气势磅瓣的百里大峡谷，有着清澈明丽的拒马河，从前那些无用的石头们在今天也变成可以欣赏的风景。从前的香雪们早就不像等待恋人一样地等待

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的土壤水分提供了良好的无氧环境，青藏高原沼泽、力，进而冰川运动速度增大，C正确。湖泊较多，①③正确，放牧属于人为来源，②错误：高13.A【解析】全球气候变暖导致冰川消融量大于积山草原能吸收甲烷，④错误

三角形QAC的周长为5√2+√26；…6分(3)过，点D作直线1⊥y轴，过点M,N分别作直线I的垂线，垂_-HD G足分别为点H,G,易知△HMD∽△GDN,设点M的坐标为(m,-m2+4m+5),点N的坐标为(n,-n2+4n+5),∴.MH=9-（-m2+4m+5)=m2-4m+4,HD=2-m,NG=9-（-n2+4n+5=n2-4n+4,DG=n-2,.'△HMD∽△GDN,.MH_HD.m2-4m+4_2-mDGWG’n-2n2-4n+4'.-(m-2)(n-2)=1,整理得：mn-2m-2n十5=0，…7分设直线MN为y=+d,将M(m,-m2+4m+5),N(n,-n2+4n+5)代入，得am+d=-m2+4m+5k=-m-n+4(+d=-n2+4n+5，解得：d=mn+5',:.直线W为y=(-m-n+4)x+n+5,…8分.'mn-2m-2n+5=0,2mn-3),-m-n+4三-1∴.直线MW为y=-三(mn-3)x+mn+5,3整理得，y=-一mn(x-2)+。x+5…22…9分.当x-2=0,即x=2时，y=8,数学参考答案第9页（共10页)

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