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1页（共4页）n0121.(12分)1119.(12分)走高瓜日安亚思的已知复数z满足x·=2,2的虚部为2.试用数学归纳法证明时+子+十D>号十2(1)求复数z；(2)设，z2,x一在复面上对应的点分别为A,B,C,求△ABC的面积明、证能大20.(12分)()证明不等式：无+’>丘+5（其中x,y皆为正数）(2)已知a>0,6>0,+6>2,求证：1+b,1+0至少有一个小于2.ab

8k22k所以线段PQ的中点坐标为（一千4'1十4聚7分①当k=0时，Q(2,0),线段PQ的垂直分线为y轴，于是NP=(一2，一t),NQ=(2,-t).由Np.N夜--4十=4，解得t=士22；…8分2k②当k≠0时，线段PQ的垂直分线的方程为y一1十=由点V(0,t)是线段PQ的垂直分线上一点，令x=0,得t=6k1+4k2…9分因为Np=(-2,-t),N夜-(1，y-t),Np.N夜-=4，所以Np.N夜=-2x1-t(-t)=一4十16士1十462【6k4k6k1+4k21+4k21十424(16k+15k2-1)=4,.(1十4k2)2解得=土4。。。。。。。。。。。。。7910分所以t=一+46-土2①46k511分综上所述，实数1的值为±22，士24512分21.(1)獬：g()-是所以g①)=1，又g)-a,所以曲线y一g在点(1，g1)处的切线方程为)广z+a-1.1分因为f(）a所以f(m三a1,即em十am1=0,……2分设am=t,h(t)=e+t-1,则h'(t)=e+1>0,即h(t)单调递增，又h(0)=0,所以em=0,又a>0,所以m=0,……3分因为f(0)=0,所以曲线f(x)在(0,0)处的切线方程为y=x,所以x十a一1=x,解得a=1.…4分(2)证明：因为了ow）1”,m）=.所以曲线)=x)在(mm)处的切线方程为y=气e(红一m0十昙-1e:2eamn,…5分同理可知曲线y=g(x)在(，g(n)处的切线方程为y=1x十1nn十a-1,所以-1一am,ln十a-1=mneam6w6分设am-,则】-0)1号>0，所以1，所以0)-。<0，即()单调递减，且4(0)-1，当m=0时，t=0,所以n=1,由(1)可知a=1,此时(a一1)m=0;……7分当m<0时，0，则元-(0>1，即00,所以a-1>-ln>0,所以a>1,此时(a-1)m<0;…8分eam当m>0时，0K1,所以a-1=-hn=名·专-n1-,设p(t)=-t+ln1-t),t∈(0,1)，则p'(t)=(2-)Cae+-),a(t-1)e【高三学情诊断考试（第二次）·数学试卷理科参考答案第5页（共6页）】

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知l是面a,3外的直线，给出下列三个论断，①l∥α；②α⊥β；③l⊥B.以其中两个论断为条件，余下的论断为结论，写出一个正确命题：.（用序号表示）【答案】若①③，则②或若②③，则①（填写一个即可）【解析】因为l∥α，a⊥B时，l与B可能行或者相交(l在3外)，所以①②作为条件，不能得出③；因为l∥α，所以a内存在一条直线m与l行，又l⊥B,所以m⊥B,所以可得a⊥B,即①③作为条件，可以得出②；因为a⊥B,l⊥B,所以l∥a或者la,因为l是面a外的直线，所以l∥α，即②③作为条件，可以得出①.14.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；鳖臑是四个面均为直角三角形的四面体.在如图所示的堑堵ABCA1B,C1中，已知AB=BC=4,AC=4√2，若阳马C1-ABB1A1的侧棱C1A=8,则在鳖臑C1ABC中，点C到面C1AB的距离为【容】【解析】由AB=BC=4,AC=4√2，则AB2+BC2=AC2,所以AB⊥BC,故△ABC是等腰直角三角形，在三棱柱ABCA1B,C1中，CC1⊥面ABC,且ACC面ABC,则CC1⊥AC,在Rt△C1CA中，AC=4√2，C1A=8,所以CC=4区，放在R△CCB中，C,B=45,则Sac=名·AB·C,B=×4×45=8v5,Sa=号111它CAB的距离为d,由等体积法V1=亏cC,解得d=5,所以点C到面CAB的距离为46115.如图，在面四边形ABCD中，DA=DC=4,BA=BC=4√2，∠ADC=120°，E为AC的中点，将△ABC沿AC折起，使得BD=4,以D为球心，DE为半径的球与三棱锥BADC各面交线的长度和为【1(+)【解析】如图，由题意知DA=DC=DB=4,BA=BC=4√2，所以DB⊥DA,DB⊥DC,又DA∩DC=D,所以DB⊥面ACD,连接BE,由E为AC的中，点得，DE⊥AC,BE⊥AC,又DE∩BE=E,所以AC⊥面BDE,所以面BDEL年面ABC,所以球D与千面BDC,面BAD,面ADC的文线分别为号周孤，周孤，专图孤，过D作DF⊥BE于F,所以DF=BDDE-4<2,故以D为球心，以DE为半径的球BE√5与面ABC也相交，其交线是以F为圆心，以/4为半径的圆，所以球与三棱锥D5·23·

则Tm=1·21+2·22+3·23+…+n·2",2Tm=1·22+2·23+…+(n-1)·2"十n·2+1将上述两式相减，得-T。=2+2+2+…+2一1·21=2-21-2-n·2+1,所以Tm=(n-1)·2+1十2.…12分11111若选@：c.-4与4n气(2n-12n+2(2n2n)…8分则工.=21-）+2（合号）+号（传）+…+号(2）=2(1-0）-2…12分若选③：Cm=(-1)”…b呢=（一1）”·n2.…7分当n为偶数时，T。=(-12+22)+(-32+42)+…+[-(m-1)2+n2]=1+2+…十n=m+D,2；……9分当n为奇数时，T。=T1-c1=0n+1D,n+2)-（n十1)2=-(n+1D22…11分综上，T,=(-1)nn(n+)…12分219.(I)证明：因为B=90°，所以BC⊥BD.因为D,E分别是边AB,AC的中点，所以DE∥BC,所以DE⊥BD,DE⊥PD.…1分又BD,PDC面PBD,BD∩PD=D,…2分所以DE⊥面PBD.…3分因为DE∥BC,DE丈面PBC,BCC面PBC,所以DE∥面PBC.…4分又DEC面PDE,面PDE∩面PBC=l,所以l∥DE,所以l⊥面PBD.……5分(Ⅱ)解：如图，过点B作BF⊥PD,垂足为F由(I)可知，面PDE⊥面PBD.又面PDE∩面PBD=PD,所以BF⊥面PDE,所以点B到面PDE的距离即为BF的长，则BF=3.…6分在R△BDF中，sn∠PDB-部-受所以∠PDB=60又BD=PD=2,所以△PBD是边长为2的等边三角形取BD的中点O,连接OP,则OP⊥BD,OP=√3.…7分由(I)可知，DE⊥面PBD.又OPC面PBD,所以DE⊥OP.又BD∩DE=D,BD,DEC面BCED,所以OP⊥面BCED.…8分以D为坐标原点，DB,DE所在直线分别为x轴、y轴，且以过点D与OP行的直线为之轴，建立空成都石室中学二诊模拟考试5/8净考答案第5页（共8页）

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