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下面证明：a≥时，h(x)≤0恒成立:h（x)=Inx-a（x)≤Inx.12分x2x-1-x-(x-1)²令p(x)=Inx--(x--),x≥1;p'(x)=:0>2x22x2Y(x)在[1,+∞o)单调递减;又x≥1,.p(x)≤p(1)=0 ;g(x)≤(x)≤0恒成立，证毕..15分18．（1）由题意可得，椭圆E左右顶点A,A分别为(-√3,0)(√3,0)，而双曲线的顶点与A,A重合.故可设x²y²双曲线的标准方程为-=1(a,b>0)，此时a=√3;_2由e==2√3-得c=2,b²=c²-a²=4-3=13x²因此双曲线的标准方程为=1.3分3（2）（i）由题意可得，切线I的斜率存在，不妨设l:y=kx+m，切点R(xo,y。),联立方程：[x²-3y²=3整理可得：（1-3k²)x²-6mkx-3m²-3=0，由于1与双曲线相切：因此△=0，即[y= kx+m36m²k²+12(m²+1(1-3k²)=0，经化简可得：m²+1=3k²（*)...5分3mkm此时x=mx=0，.7分k若点 R,M,N 的横坐标成等差数列,3mk2m√3则2xM=x+x，即若m=0，则根据（*）式可得，k=±此时1为双曲线1-3k2k33k2√6的渐近线，不可能为切线，故解得3k²=2，:.k=（切点在第一象限）..9分k3（ii）不妨设P(x,y),Q(x2,y2)，此时切线l:y=kx+m与椭圆联立:x²+3y²=3，整理得：（1+3k²)x²+6mkx+3m²-3=0（※）[y = kx + m（※）式中，△=36k²-12m²+12=24>0恒成立.11分m√6 |m|此时 Sopp =|PQl·do-pQ =3.14分1+3k²√1+k²1+3k21+3k24
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