天一大联考 顶尖联盟 2023-2024学年高二秋季期中检测(11月)数学f试卷答案

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1-1=x-112,x>0,当0a,即b>e。综上，e1时，u'(x)>0,1-x函数u(x)单调递增。所以u(x)≥u(1)=1十(0,+oo),则G'(x)=。,易知G(x)s=(2)-2e12一2ln2解析由f(x)=a,因为a>-1,所以u(x)>0,故当a>-11x2lnx(x>0),得f'(x)=x(2lnx+1)。当0时，对于任意x>0,g(x)>x2lnx。G(1)=一。，当且仅当x=1时取到，从而可【例2】解(1)由x一1>0，得x>1,所以f(x)知对一切x∈(0，十∞)，都有f(x)>G(x),e中e2z当x>e言时，f(x)>0,函数f(x)单调递增，2=ax-(a+2)(x-1)2。令故e百是函数f(x)的极小值点，也是最小值(x-1)29【变式调练】解(1)f(x)=是-a(x>0),f'(x)=0,得x=1十2,所以当10,f(x)在(0，+∞)上点，故f(r)的最小值为f(e)=ene专a单调递增；2时，f'(x)<0,当x>1+2时，f(x)>0,=28。由a>0,b>0,且f(a)=g(b)可得aa②若a>0,则当00当a21na=be2b,则lna>0,a>1,lna·e2ma=所以f)的单满递减区间为(1,1+吕），单调递增区间为(1+名，十0)·x>时，f'(x)<0。故fx)在(0，）上be2b。由g(x)=xe2,得g'(x)=e2(2x十1),当x>0时，g(x)>0,g(x)单调递增。故由a>1,b>0,lna·e2ma=be20可得lna=单调递增，在（侣，十∞）上单润递减。b,故a-2b=a-2lna,a>1。令h(x)=x(2)证明：令g(x)=lnx-x十1，则g'(x)=1-1。所以当00:当x(2)证明：因为x>0,所以只需证f(x)≤e2lnx(x>1),则h'(x)=1--当12>1时，g'(x)<0。所以g(x)≤g(1)=0,所2e,当a=e时，由(1)知，f(x)在(0,1)上单调时，h'(x)>0,h(x)单调递增，故h(x)以lnx≤x-1,所以当x>2时，有ln(x-1)递增，在(1，十∞)上单调递减。所以f(x)maxh(2)=2-2ln2,即a-2b的最小值为20,所以要证f(x)<21n2=f(1)=-e。设g(x)=2e2+(a-1)x-2a,只需证a(x-2)+-2e(x>0),则【训练2】(1)解f(x)的定义域为(0，+∞)，-1Sf(x)=aet-1-In x+In a elna+*-1-In xe2+(a-1)x-2a,即证e2-x-2g'(x)=x-1)e,所以当01时，g'(x)>0,lnx十x=enr十lnx。令g(x)=e+x,上述任意x>2恒成立。令h(x)=e一x一2g(x)单调递增，所以g(x)min=g(1)=-e。不等式等价于g(lna+x-l)≥g(lnx)。显蝾上，当x>0时，f(x)≤g(x),即f(x)≤e然g(x)为增函数，所以又等价于lna+x一12（x>2),则h'（x)=e-1+z-1,国为≥lnx,即lna≥lnx-x+l。令h(x)=lnx-2e。即xf(x)-er十2ex≤0得证。一x+1,则h'(x)=1-1=1x。当x∈x>2,所以h'(x)>0恒成立，所以h(x)在(2+∞)上单调递增，所以h(x)>h(2)=e2-4【变式训练】解(1)f'(x)=e(1一x),令f'(x)>0得x<1;令f'(x)<0得x>1,所(0,1)时，h'(x)>0,h(x)单调递增；当x∈(1,十∞)时，h'(x)<0,h(x)单调递减，所以>0,所以当x>2时，f(x)1,则F'(x)=e(2)证明当a≥。时，f(x)≥e-In x-1,(nx+1)(z+m)-xn工，所以f'(1)=f'(x)+f'(2-x)=ex(1-x)+ex-2(x(x+m)21)=(x-1)(e-2-e),因为当x>1时，xm+1-1>0,e2-2-ex>0,所以F'(x)>0,所以所以只套江明片-lhx-10,由子号-In x(1+m)2=交，解得m=1。F(x)在(1，十∞)上单调递增，所以F(x)>-l≥0台e≥eln ex台xe≥exln ex台xe≥(2)证明：设h(x)=e-x-1(x>0),则F(1)=0,故当x>1时，f(x)>f(2-x)el eInex,令g(x)=xe(x>0),由g'(x)=h'(x)=e-1>0,所以h(x)在(0，十∞)上单(￥)，由f(x1)=f(x2),x1≠x2,可设x1e(x+1)>0知g(x)为增函数，又易证x≥调递增，所以h(x)>h(0)=0,即当x>0时，f(2lnex=lnx+l,所以g(x)≥g(lnex),即x2),又f(x1)=f(x2),所以f(x1)>f(2xe≥eln erIn ex成立。故当a≥e>x+1>1,所以。<+中要证f(x)>x2）。又x1<1,2-x2<1,而f(x)在(-∞，1时，fx)e1)上单调递增，所以x1>2-x2,所以x1+x≥0。2g)-1,即证n>经-1，只需证nx>2第2课时导数与不等式恒成立x+1ex+1证法二（比值代换法）：设01,则1),f'(x)=xe2+e-4,所以f'(0)=-3,(0,1)时，m'(x)<0;当x∈(1，+∞)时，x1f(0)=2,所以所求切线的方程为3x十y一2m(x)>0,所以m(x)在(0,1)上单调递减，在x2=tx1,代入上式得lnx1-x1=lnt+lnx10。(1,十∞)上单调递增，所以m(x)min=m(1)=In t-tx1,得x1=二气x2=tIn t。所以x1十x2(2)由f(1)≥0，得a≥0,即m(x)≥0，所以xlnx≥x-1,f(x)>e->0,则f(x)≥02g（x)一1得证。=(+1)Int2x-1【例3】解析(1)函数f(x)=xlnx一ax的定t-1。要证x1十x2>2,只需证对任老的>0恒成立可转化为。千≥号义域为(0，十∞)，当a=一1时，f(x)=xlnx(t+1)In t>2eIn t-+x,f'(x)=lnx十2。令f'(x)=0,得x=t-12(t-1D>0。设g)对任意的x>0恒成立。设函数F(x)=t+12x-1=ln4-2-D(e>1),则g'(e)=1(x>0),则F'(x)=1当0<<时，fx)<0当x>xe*t+1t2(t+1)-2(t-1)=(t-1)22+1)>0,所以当>2x+1)x-D.当0r2er时，f'(x)>0.所以f(x)在(0，怎)上单调(t+1)20;当x>1时，F'(x)<0,所以函数F(x)在(0，11时，g(t)单调递增，所以g(t)>g(1)=0,所1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减，所以递减，在（位，+∞）上单调递增。图此f(x)以n2-2-1D>0,故，+z2>2.F(x)max=F(1)=at+11e。于是a十≥。，解得a在x=。三处取得板小值也是最小值，即激活思维·增分培优1【训练1】(1)D解析由2(a+b)=e2a+21nb≥。故实数a的取值范国是e白fx)m=f(）=-,但f(x)在(0，1+1,得e2a-2a=2b-2lnb-1,即e2a-2a-1=2(b-lnb-1)=2(eh6-lnb-1)。设+∞)十∞)上无最大值。(2)证明：当x>0时，lnx+1>12f(x）=e一x-1,则f'(x)=e-1,当x>0时，f'(x)>0,所以函数f(x)在(0，十∞)上【变式训练】解(1)由f(x)=alnx十1 +bz>ee2x单调递增。又f(2a)=2f(lnb),2a>2,lnbx2价于xnx+1)>。节一总.由(1)知a=>0,所以2a>lnb,即b1,所(x>0),得f(x)=&-1+6=以e2a=e·e>2e“,所以e2a-2a-1>2ea-1时，f(x)=xhx+x≥-，当且仅当12a-2=2(e-a-1),所以f(2a)>2f(a)br2+ax-1,因为曲线y=f(x)在点(1，所以2f(lnb)>2f(a),即f(lnb)>f(a),所f(1)处的切线方程为2x一y十1=0，所以有答案深度解析·17·
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